Fonctions de la forme x ⟼ a(x-x1)(x-x2)

Soit \(a\) un nombre réel non nul. Soit \(x_1\) et \(x_2\) deux nombres réels.
On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\), par \(f(x)= a(x-x_1)(x-x_2)\) .

Propriétés

Dans un repère orthogonal, la courbe représentant cette fonction est une parabole.
L'axe de symétrie de cette parabole est la droite d'équation \(x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\).
Le sommet de cette parabole a pour abscisse \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\).

Exemples

La figure suivante montre les paraboles représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) définies, pour tout réel \(x\), par \(f(x)=-(x-2)(x+2)\) et \(g(x)=-(x-1)(x+2)\).